肉眼凡胎的普通人如何才能接近理念世界？柏拉圖的答案是：學習數學。
當然，數學的世界本身也還不是理念世界，因為數學的對象還是肉眼可以看到的，比如幾何圖形、天穹星象……但通過演練數學，你可以被引向理念世界。傳說柏拉圖學院門口有個牌子，寫著"不懂幾何者不得入內"。
《柏拉圖的學院》馬賽克鑲嵌畫-來自龐貝的西米紐斯斯蒂芬斯別墅(圖自維基)
為什么數學可以達成這樣的目標？原因有二：
其一，數學知識最接近理念知識所應有的純粹性。數學的研究對象似乎是可以見到的，但又仿佛不在現實生活中。比如，自然數字 1、2、3，似乎可以在現實中看到一支筆，兩張紙，三個人，可是細想一想，那個單純的 1、2、3，似乎又不是我們能夠看到的。三角形固然可以畫出來，因而被我們看到，可是畫出來的三角形并不是嚴格的幾何三角形。嚴格的幾何對象，點是沒有大小的，線是沒有粗細的，面是沒有厚度的，所以，任何畫出來的三角形都不是嚴格的幾何三角形。實際上，畫出來的三角形總是一個特定的三角形，有特定的角度和邊長，可是幾何學要討論的經常是任意三角形，而任意三角形是畫不出來的。因此，在幾何證明時，不能依賴畫出來的圖形，而要靠思維的力量超脫圖形的無形約束。你要不斷地透過現實的尺規作出來的圖，看到沒有大小的點，沒有粗細的線，沒有厚薄的面。「所以我們說，數學具有一種不可思議的功能，它能夠幫助你由此及彼，由現實進入超越世界。學數學是一個準備性訓練。學完數學的人，才能夠滿懷信心地真正去學習純粹的理念知識。」
柏拉圖強調幾何學知識的超越性，也強調幾何學對象的超越性。他反對過多地使用畫圖工具，認為那樣一來就會損壞幾何學的純粹性，因此做出了只許使用直尺和圓規作圖的限定。
其二，數學是蘇格拉底所推崇的確定性知識的典范。數學知識都是說一不二的，對就是對，錯就是錯。咱們考數學，有考一百分的，也有考五分的，那語文就不容易考一百分，也不容易考五分，因為語文沒有那么說一不二。
數學知識的確定性，一定給柏拉圖留下深刻印象，所以他一直鼓勵他學院里面的人都要好好研究數學。根據目前留傳下來的歷史資料，柏拉圖本人似乎沒有做過什么數學研究，不是個數學家，但他的確是一位數學哲學家。他重視數學、推崇數學，引導他的學生們致力于數學研究。
柏拉圖學院里面數學家特別多，有名有姓的，就有十多個人。這里，我們只簡單提一下三個最有名的：
第一個人叫「泰阿泰德」，據說他發現了第五種正多面體。在此之前，畢達哥拉斯學派已經發現了四種正多面體，而泰阿泰德發現了第五種。據說泰阿泰德還證明了，正多面體有且只有五種，這個后面我們會細說。
第二個是「歐多克斯」，他是希臘數理天文學的創始人。他的數學非常厲害。在希臘，天文學屬于數學學科，是應用性的球面幾何學。他的開創性工作，我們將在第 6 章專門講述。
歐幾里得, 公元前325年－前265年
第三個人物是「歐幾里得」，《幾何原本》的作者。關于他的生平沒有太多記載，只知道他大約活躍于公元前 300 年左右。由于年深歲久，歐幾里得的生平事跡都失傳了。后世史學家只知道他的鼎盛年大概是公元前 300 年。如果這一年他 40 歲正當盛年的話，那么他應該是大約出生于公元前 340 年，柏拉圖那時已經去世了。可以肯定的是，他曾經在柏拉圖學園學習過。當然，他沒有見過柏拉圖。由于他的一生正處在希臘古典文明末期和希臘化文明的早期，他的《幾何原本》作為希臘古典幾何學的集大成，應該是在希臘化時期的科學中心、托勒密埃及的首都亞歷山大城寫成的。他的工作，我們在以后講希臘化科學的時候再詳細說。
五個正多面體
我們這里簡單講一講五個正多面體的故事，那是一部人類科學思想史上極為浪漫、極為動人的一個故事。這個故事也反映出了柏拉圖主義對于整個西方科學史的巨大而持久的影響。
什么叫正多面體，正多面體的意思就是，每個面是完全相同的正多邊形，而正多邊形每條邊都相同。正多邊形可以有正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形……這么多正多邊形要組成一個立體的話，可以構成幾個？柏拉圖學派證明了有且只有五個。
我們可以做一個不太嚴格的證明。要構成一個立體角，就要求構成這些立體角的各個面的角度加起來必須小于 360 度，等于都不行。正多邊形邊越多，內角就越大，正三角形的內角度是 60 度，正四邊形是 90 度，正五邊形 108 度，正六邊形是 120 度。構成一個立體角至少需要三條棱，如果是 120 度的話，乘以 3 就 360 度了，所以，正六邊形就不能構成一個立體角。換而言之，正多面體只能由正三角形、正四邊形和正五邊形這三種正多邊形構成。
如果用正三角形的話，每個角 60 度，可以有 3 條棱、4 條棱、5 條棱三種可能，分別可以構成正四面體、正八面體和正二十面體。6 條棱就不行了。正四邊形每個角 90 度，只有 3 條棱一種可能性，可以構成正方體。正五邊形每個角 108 度，只有 3 條棱一種可能性，可以構成正十二面體。所有可能的結果加起來就是，正多面體有且只有五個。
柏拉圖學派認為，正多面體是多面體中最美妙的，因為它的每條邊一樣長，每個面一樣大，可是，它居然就只有五個。這是為什么呢？這中間有什么奧妙可言嗎？
對數字非常敏感的畢達哥拉斯主義學派來說，這個數字五就必然很有說道。「怎么就這么巧，正多面體有且只有五個呢？」
哥白尼體系提出來以后，太陽成了宇宙的中心，圍繞太陽旋轉的行星成了六個，分別是水星、 金星、地球、火星、木星、土星。「開普勒」是當時著名的哥白尼主義者，也是個狂熱的畢達哥拉斯主義者。于是他就琢磨，行星有六個，正多面體有五個，要說它們之間毫無聯系怎么可能呢？
開普勒在《宇宙的神秘》中關于太陽系的柏拉圖式實體模型（1596年）, 圖自維基
于是，他就拼命地去琢磨這六個行星的軌道。琢磨來琢磨去，終于有一天他琢磨出來了。通過五個正多面體，進行內切和外接的嵌套，可以產生六個球，這些球的大小正好符合六個行星的軌道尺寸。
他想出來以后，特別興奮，有一種發現了世界秘密的感覺，于是寫了一本書，叫《宇宙的奧秘》。那本書問世以后，被另外一個天文學家第谷看到了。第谷發現，這個人的數學功底真不錯，就決定收他為徒。
第谷本人不是數學家，但是他有很多重大天文發現和系統而精確的天文記錄，特別是，他有非常完整的火星位置數據。開普勒繼承了第谷的數據，在此基礎上最終發現了行星運動的三定律。開普勒三定律直接導向了牛頓的萬有引力定律，是天文學史上一個非常偉大的發現。可是，指導他做出偉大發現的動機，竟然是柏拉圖學派最早發現的五個正多面體。
