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“橡皮泥幾何”入門
我在大學學習拓撲時，總是不可避免地會遇到朋友和親戚們的提問：
“拓撲到底是什么？”
這個問題很難回答，每次我都會給出略有不同的答案，但是答案總是不那么令人滿意。如果你曾經(jīng)在網(wǎng)上搜索過拓撲，你肯定會遇到將甜甜圈變成咖啡杯的動畫，同樣，我給出的答案也都與此相關(guān)：為什么甜甜圈跟咖啡杯在拓撲結(jié)構(gòu)上是一樣的，立方體和球體拓撲上也是一樣的。但是這樣的答案并不能真正解釋真實的拓撲是什么，拓撲怎么應用以及其真正的價值是什么。
著名的咖啡杯和甜甜圈動畫 | wiki
如果你有學到一般拓撲學的本科課程，可能會難以將所學的東西跟熟悉的甜甜圈和咖啡杯動畫聯(lián)系起來。這篇文章的目的是建立一般拓撲的基本概念，并說明拓撲跟熟悉的動畫以及其他幾何思想之間的聯(lián)系。接下來，我們來了解，為什么將甜甜圈和咖啡杯視為一樣的東西會是有用、有價值的。
總的來說，我發(fā)現(xiàn)很多人（包括我自己）都在努力嘗試去理解：怎么才能將抽象的數(shù)學應用到實際的現(xiàn)實中。在了解拓撲的基本思想之后，我們可以重新思考真實世界，也許會產(chǎn)生出乎意料的結(jié)果。在此之前，我們將介紹拓撲的基本概念，這也是了解拓撲必不可少的定義。
拓撲空間
拓撲空間是具有最基本的結(jié)構(gòu)的一組數(shù)學對象。數(shù)學中的結(jié)構(gòu)通常意味著：數(shù)學對象之間的相加、相乘、距離或其他的概念。顯然，這些結(jié)構(gòu)適用于我們?nèi)粘Ｖ杏龅降臄?shù)字。
但是，拓撲空間的結(jié)構(gòu)比加法、乘法和距離的思想更加基本。事實上，這些數(shù)字所在的空間是拓撲空間的一個特定情況，也就是說，實數(shù)實際上是拓撲空間的一個特殊情況。
拓撲空間上的結(jié)構(gòu)稱為空間拓撲。所有的拓撲都是數(shù)學對象的子集的集合，稱為空間的“開集”。拓撲中包含的特定集合定義了空間的結(jié)構(gòu)，這概念似乎很模糊和抽象，這是因為事實就是如此，這是數(shù)學中最抽象的結(jié)構(gòu)形式。
當然，你不必完全理解此定義，只需記住拓撲及其內(nèi)部的“開集”可以確定空間的結(jié)構(gòu)。同樣重要的是，使一個拓撲空間與另一個拓撲空間區(qū)分開的，是我們選擇放入該空間拓撲中的集合。如果你感興趣的話，以下是拓撲更加正式的定義。
拓撲空間定義
拓撲空間（X，τ）的數(shù)學對象集合是 X，空間拓撲是 τ，τ 包含 X 的一系列子集，滿足下列條件：
1. X 和空集包含在 τ 中。
2. τ 中集合的任何并集也在 τ 中。
3. τ 中集合的任何有限交集也都在 τ 中。
那么，這怎么跟甜甜圈和咖啡杯聯(lián)系起來呢？
通常，拓撲空間可以通過幾何對象（例如球體）可視化：
圖1 ：球體
表示球體的拓撲空間是一些點的集合，如果將它們繪制在三維空間中，它們將構(gòu)成一個球體以及一個拓撲。如前所述，拓撲定義了空間的結(jié)構(gòu)，正是空間拓撲讓這個球聚在一起不散開。我們可以將拓撲想象為“使所有點都不會掉落到地面上的事物”，它讓球體保持單個物體的狀態(tài)，而不僅僅是兩個半球擠在一起。現(xiàn)在，設想一個如下圖所示的拓撲空間：
圖2：橢球
假設上面的球體（圖1）是用橡皮泥制成的，那么我們可以輕松地將球體拉伸變成另一個對象橢球（圖2）。三維對象能夠執(zhí)行此操作意味著這兩個對象在拓撲上是相同（等價）的。這可能看起來很奇怪，但是仔細想一想，這兩種形狀有什么不同？雖然它們看起來不同，但是如果我們可以輕松地將它們擠壓或拉伸實現(xiàn)形狀的變化，它們是否真的是獨特的？
這兩個對象具有相同的拓撲，這意味著，即使這兩個對象在幾何形狀上有所不同，但它們在拓撲上完全等價。我們可以將橡皮泥拉伸成可以想象的任何奇怪形狀，但在拓撲結(jié)構(gòu)世界中，所有這些形狀都完全相同。也許你對拉伸的形狀沒有什么概念，但是關(guān)于如何拉伸橡皮泥的游戲有一些規(guī)則：
不允許在橡皮泥上打洞；
不允許將橡皮泥上的兩點捏合在一起（我們沒法將球形的橡皮泥做成甜甜圈的形狀）。
如果我們在拉伸時違反了這些規(guī)則，那么這兩個對象在拓撲上將不再等價。拓撲學家稱這種不破壞既定規(guī)則的拉伸為同胚，這只是一種數(shù)學上精確地描述如何讓橡皮泥的形狀保持相同拓撲性質(zhì)的方法。因此，如果我們可以得出兩個拓撲空間之間的同胚性，則這些空間具有相同的拓撲，這就說到了咖啡杯和甜甜圈動畫。
我們可以提供一個描述甜甜圈的拓撲空間，然后想象我們的甜甜圈是由橡皮泥制成的，然后在不破壞規(guī)則的情況下，將其拉伸到咖啡杯的形狀。所以，是的，在拓撲結(jié)構(gòu)上，咖啡杯和甜甜圈是同一件事。
圖3：看起來不特別美味的甜甜圈
為什么球體不是甜甜圈？
現(xiàn)在，我們知道了如何判斷兩個對象在拓撲中的一致性，現(xiàn)在我們來看一下如何判斷其在拓撲中的差異性。拓撲空間具有許多可以區(qū)分它們的不同屬性。對于三維對象，例如球體和甜甜圈，我們可以用來區(qū)分二者的主要是它們具有的孔數(shù)。如果一個對象比另一個對象具有更多的孔，則二者在拓撲上是不同的。這是因為它們違反了我們先前建立的拉伸橡皮泥的規(guī)則。要造出一個孔，我們要么在橡皮泥上撕出一個洞，要么將橡皮泥拉伸成一個甜甜圈形狀，然后將兩端合并在一起。
圖4：我們可以將橡皮泥球塑造成甜甜圈形狀，但是在不違反規(guī)則的情況下，邊線不能融合在一起。當我們將其彎曲成甜甜圈時，通心粉形狀的兩個圓形面仍然存在。
在拓撲上區(qū)分三維對象的另一種常用方法是，想象在三維對象上面行走。例如，在球體上行走。假設你從某個點開始，一直繞著球體上的一個大圓圈行走，當你再次到達同一點后，可以沿任一方向旋轉(zhuǎn)90度，然后繞著另一個大圓圈走。在繞球的第二圈中，你將穿越第一條路徑。無論你在球面上的哪一點上執(zhí)行此操作，都會發(fā)生這種情況。
圖5：具有兩條相交路徑的球體
在與球體拓撲等價的任何三維對象上也會發(fā)生這種現(xiàn)象。但是，在某些拓撲上與球體不等價的對象上，有方法可以做到這一點而不穿越第一條路徑，你可以在甜甜圈上看到這個現(xiàn)象。
圖6：如果我們從藍色和綠色路徑相交的地方開始，然后沿著綠色路徑行走，這條路徑跟我們已經(jīng)走過的地方不相交。
對于拓撲等價的對象，他們的許多拓撲性質(zhì)都是相同的；對于拓撲不等價的對象，這些拓撲性質(zhì)則不一定相同。這些拓撲性質(zhì)，就是用于確定兩個對象拓撲等價與否的重要工具。
其他的拓撲對象
到目前為止，我們僅討論了可以在3維中可視化的拓撲空間，但拓撲的一個優(yōu)勢是，它允許我們使用同樣的方法輕松地描述4、5或更高維中存在的對象。
此類拓撲結(jié)構(gòu)中經(jīng)常出場的是克萊因瓶：
圖7：三維空間中克萊因瓶的表示 | youtube：Numberphile
嚴格來說，我們實際上無法在三維空間中觀察到真正的克萊因瓶，但是通過允許其自身交叉，我們可以對它的性質(zhì)有所了解。在四維空間中，該對象實際上并不與自身交叉。很難想象的是，它會在第四維度彎曲以重新連接到自身。克萊因瓶看起來像有內(nèi)外兩側(cè)，但是你可以從一個特定點沿一條連續(xù)的路徑走，你將經(jīng)過克萊因瓶的“外部”和“內(nèi)部”，最后回到原始點，這說明克萊因瓶的3D表示在拓撲上是同一個面。因此，克萊因瓶沒有容積。
但是，關(guān)于克萊因瓶上的路徑的一個有趣的事情是，如果沿著上述路徑行走，當你返回到原始位置時，你實際上將成為自己的鏡像。這是與克萊因瓶在拓撲上等效（或同胚）的對象的拓撲屬性。顯然，克萊因瓶對球體或甜甜圈不是同胚的，因為無論我們在球體或甜甜圈上行走的方式如何，當我們回到起點時，我們都不會成為自己的鏡像。如果對象具有成為自己鏡像的這種屬性，則將它們稱為不可定向的。克萊因瓶不可定向，球形和甜甜圈可定向。另一個著名的不可定向表面是莫比烏斯帶，這個很容易用紙條制作，網(wǎng)上也有很多教程。
當螃蟹在莫比烏斯帶上行走并返回其原始位置時，它就是其自身的鏡像。資料來源：Wikimedia Commons
盡管莫比烏斯帶不可定向，但它在拓撲結(jié)構(gòu)上不等同于克萊因瓶，而且其結(jié)構(gòu)是一個整體。雖然可以通過將兩個莫比烏斯條的邊緣粘合在一起來構(gòu)造克萊因瓶，但實際上在三維空間中這樣做是不可能的（你可以嘗試）。
用一張紙構(gòu)造一個甜甜圈
研究在三維空間中難以可視化的對象（例如克萊因瓶）的拓撲的一種更實用的方法是考慮其粘合圖，粘合圖通過拉伸和粘合2D形狀的邊緣的方式，來指導我們?nèi)绾螛?gòu)造具有特定拓撲的對象。
在考慮復雜形狀的粘合圖之前，首先考慮一個更簡單形狀的粘合圖，甜甜圈：
圖7：甜甜圈的粘貼圖
我們假設圖中的正方形是用橡皮泥制成的，然后想象一下拉伸正方形讓對側(cè)的邊緣附著在一起或粘貼起來。當我們將這些邊緣粘合在一起時，我們需要箭頭指向同一方向。因此，我們將上圖擴展如下：
圖8：如何從其粘合圖構(gòu)造甜甜圈
下一個圖類似于圖 7，除了兩個紅色箭頭現(xiàn)在處于相反的方向。這意味著我們需要扭曲對象，以便在將邊緣膠合在一起之前，箭頭指向同一方向：
圖9 ：更復雜的粘合圖
上圖粘合圖中的第一步是拉伸正方形，使兩條藍線相交，然后我們構(gòu)造一個圓柱體，就像構(gòu)建甜甜圈的第一步一樣。甜甜圈粘合的紅色箭頭指向相同的方向，而現(xiàn)在，這兩個紅色箭頭則指向相反的方向。這意味著我們必須以某種方式扭轉(zhuǎn)圓柱體的一端，以使箭頭在將它們膠合在一起之前指向相同的方向。你可能會想到，這在物理上是不可能的。因此，由該粘合圖產(chǎn)生的表面在物理上也是不可能的。但是實際上，這是我們已經(jīng)見過的物理上不可能的表面，克萊因瓶！
Source:Fouriest Serieson tumblr
粘合圖是查看對象是否可定向的簡單方法。我們可以想象在粘合圖上行走與在“吃豆人”中的原理類似，當吃豆人到達世界的一側(cè)時，它可以從另一側(cè)出來。如果我們想象吃豆人在粘合圖上移動，當它進入一側(cè)時，它將從同一顏色的另一側(cè)冒出來，而箭頭確定了它前進的方向。
假設吃豆人進入圓環(huán)粘合圖的右側(cè)，那么它將從左側(cè)出現(xiàn)。這就是正常“吃豆人”世界的拓撲工作方式。
圖10：吃豆人在圓環(huán)上行走
現(xiàn)在假設吃豆人進入了克萊因瓶粘合圖的右側(cè)，然后，吃豆人將在左側(cè)出現(xiàn)，但上下顛倒了：
圖11：吃豆人在克萊恩瓶上行走
由以上分析可知: 粘合圖能使我們輕松考慮對象的某些拓撲屬性，如果沒有粘合圖，這些屬性將難以理解和利用。
拓撲為什么有用？
實際上，拓撲在統(tǒng)計領(lǐng)域中非常有用。統(tǒng)計學中一個新興的研究領(lǐng)域是拓撲數(shù)據(jù)分析。有用的數(shù)據(jù)通常具有某種結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)具有某種規(guī)律或趨勢，而數(shù)據(jù)分析本質(zhì)上是揭示此結(jié)構(gòu)的過程。在數(shù)據(jù)中尋找結(jié)構(gòu)通常取決于我們?nèi)绾慰创龜?shù)據(jù)，即：使用什么統(tǒng)計檢驗，將哪些變量與其他變量進行比較以及使用哪些可視化表示。
從拓撲結(jié)構(gòu)中，我們知道看起來完全不同的事物實際上可以具有相同的結(jié)構(gòu)。這個想法也可以應用于數(shù)據(jù)，因為即使在處理相同的數(shù)據(jù)，若看待數(shù)據(jù)的角度不同，它們看起來也可能完全不同。
在拓撲數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)將會進行拓撲處理。我們知道，拓撲屬性是在不改變其拓撲性質(zhì)的變換過程中保持不變的屬性。因此，在對數(shù)據(jù)進行拓撲數(shù)據(jù)分析時，我們主要尋找在經(jīng)過各種處理方式之后保持不變的屬性，這個過程可以類比于像拉伸橡皮泥一樣拉伸數(shù)據(jù)。通過這種方式，我們可以確定數(shù)據(jù)的真實結(jié)構(gòu)，并且不再依賴數(shù)據(jù)的觀察方式。
這只是所謂的“現(xiàn)實世界”中許多拓撲應用之一。其他拓撲應用程序還涉及看起來不同的事物實際上是否是相同的問題，這個問題在處理經(jīng)由不同的人、不同方式表述的同樣的信息中非常重要。具有不同的表示方式的幾種情況有：分子結(jié)構(gòu)、地理圖、DNA結(jié)構(gòu)和繩結(jié)等等。
雖然最初可能很難看清，但是拓撲是大多數(shù)數(shù)學領(lǐng)域的基礎。確切定義拓撲的“使用方式”非常困難，因為它的存在在數(shù)學的工作方式中根深蒂固，以至于我們甚至都沒有注意到我們正在使用它。直到最近，拓撲學才成為獨立于其他數(shù)學領(lǐng)域的學科，不斷涌現(xiàn)出新的研究成果和應用。
作者：Luke Cooper
翻譯：Nuor
審校：xux
原文鏈接：
https://medium.com/cantors-paradise/what-is-topology-963ef4cc6365
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來源： 中科院高能所
