導(dǎo)語
我們生活在三維空間，可是如果空間維度的數(shù)量增加到四個(gè)甚至更多，會(huì)有什么不同？借助最新發(fā)展的理論和實(shí)驗(yàn)技術(shù)，物理學(xué)家開始探索更高維度的物理。實(shí)驗(yàn)室中一種被稱為“拓?fù)浣^緣體”的材料，是模擬四維物理的主要靈感來源，其性質(zhì)會(huì)隨著空間維度而改變。借助超冷原子、光子甚至經(jīng)典電路，就可以在受控實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中探測(cè)四維世界的新物理現(xiàn)象。
研究領(lǐng)域：空間維度，拓?fù)浣^緣體，凝聚態(tài)物理
Hannah Price | 作者
潘佳棟 | 譯者
黃澤豪 | 審校
鄧一雪 | 編輯
如果宇宙有四個(gè)空間維度而不是三個(gè)，會(huì)是什么樣子？借助最近發(fā)展的技巧，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家開始探索更高維度的物理，在諸如超冷原子、光子學(xué)、聲學(xué)，甚至經(jīng)典電路等平臺(tái)上模擬額外的第四維度。盡管任何這類技巧都必然有局限性，因?yàn)榈谒目臻g維度總是人工的，但這些方法已經(jīng)證明，它們可以在受控實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中模擬一些四維效應(yīng)。
但什么是第四空間維度？在非相對(duì)論物理學(xué)中，空間和時(shí)間截然不同，空間維度只是物體向前和向后移動(dòng)的方向（不同于時(shí)間，時(shí)間總是從過去流向未來）。系統(tǒng)中相關(guān)空間維度的數(shù)量由空間運(yùn)動(dòng)可以沿哪些方向，或描述一個(gè)物體在特定時(shí)刻位置的最小空間坐標(biāo)數(shù)量，如 (x, y, z) 來定義。
空間維度的數(shù)量可以通過對(duì)系統(tǒng)施加約束來約減。例如，將珠子穿到一根長直導(dǎo)線上會(huì)限制珠子僅在一個(gè)空間維度上移動(dòng)：沿線向前或向后。單個(gè)坐標(biāo)給出了珠子在任何特定時(shí)刻沿線的位置。
如果空間維度的數(shù)量增加到四個(gè)或更多，會(huì)發(fā)生什么？理論物理學(xué)家可以簡單地將熟悉的物理方程擴(kuò)展到一組擴(kuò)大的空間坐標(biāo)系，例如（x，y，z，w）。這種擴(kuò)展通常不會(huì)導(dǎo)致新現(xiàn)象。但在某些物理領(lǐng)域，可能出現(xiàn)新的效應(yīng)，比如拓?fù)浣^緣體，這是實(shí)驗(yàn)?zāi)M四維物理的主要靈感來源。本文深入探討了什么是四維物理，以及模擬四維空間的實(shí)驗(yàn)技巧是如何運(yùn)作的。
拓?fù)涓拍顝臄?shù)學(xué)到物理學(xué)的轉(zhuǎn)移加深了研究人員對(duì)物質(zhì)狀態(tài)的理解，并導(dǎo)致了大量奇異拓?fù)洳牧系陌l(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)中，拓?fù)鋵W(xué)是對(duì)不同表面進(jìn)行分類的最著名的框架。例如，甜甜圈屬于有一個(gè)孔的曲面族，而橙子屬于沒有孔的曲面族。如果我們平滑地壓扁一個(gè)橘子，它的形狀會(huì)發(fā)生變化。但如果不撕開一個(gè)新的洞，它就不可能變成甜甜圈的形狀，從而改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種情況由一個(gè)稱為虧格（genus）的指標(biāo)來量化。其他數(shù)學(xué)問題有許多其他類型的拓?fù)鋽?shù)，例如所謂的陳數(shù)（Chern numbers），這些將在后面討論。
在物理學(xué)中，拓?fù)鋽?shù)是許多材料的電學(xué)、光學(xué)和其他行為的核心。[1] 特別是，它們經(jīng)常對(duì)晶體中的電子能帶進(jìn)行分類。在非平庸的情況下，這些拓?fù)鋽?shù)保證了特殊的性質(zhì)，例如，盡管材料內(nèi)部是絕緣的，但在材料邊緣會(huì)存在圍繞其循環(huán)的電流環(huán)路——這種材料被恰當(dāng)?shù)孛麨?strong>拓?fù)浣^緣體（topological insulator）。與可擠壓橙子的虧格相似，拓?fù)鋽?shù)很難改變，因此拓?fù)湫再|(zhì)，例如那些特殊的邊緣電流，即使在無序情況下也是魯棒的，只要內(nèi)部保持絕緣。
空間維度改變了拓?fù)浣^緣體及其邊緣電流的性質(zhì)。如圖1所示，二維拓?fù)浣^緣體具有有效的一維導(dǎo)電邊緣通道，而三維拓?fù)浣^緣體覆蓋有二維導(dǎo)電表面。類似地，四維拓?fù)浣^緣體應(yīng)該是一種具有魯棒的三維導(dǎo)電表面體積的不同尋常的材料。此外，不僅是邊緣行為，基礎(chǔ)物理和拓?fù)鋽?shù)的定義都取決于系統(tǒng)的空間維度和對(duì)稱性。[1]
圖1. 二維、三維和四維拓?fù)浣^緣體盡管在塊體內(nèi)（紫色）絕緣，但在其邊緣或表面（淺灰色）上導(dǎo)電。這種不尋常的行為由電子能帶結(jié)構(gòu)的拓?fù)湓斐伞Ｔ谌S和四維系統(tǒng)中，導(dǎo)電表面被描繪為從塊體上升起，以同時(shí)顯示塊體和表面。四維拓?fù)浣^緣體顯示為沿第四維的幾個(gè)獨(dú)立的三維切割。
四維拓?fù)浣^緣體的故事始于二維量子霍爾效應(yīng)，該效應(yīng)由坐落于德國斯圖加特的馬克斯·普朗克固體研究所的 Klaus von Klitzing 于1980年發(fā)現(xiàn)。這項(xiàng)研究為他贏得了1985年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。
顧名思義，二維量子霍爾效應(yīng)（2D quantum Hall effect）本質(zhì)上是一種二維現(xiàn)象，最早在高質(zhì)量半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)中移動(dòng)的有效二維電子氣體中被觀察到。[1] 在他的開創(chuàng)性實(shí)驗(yàn)中，von Klitzing將硅基異質(zhì)結(jié)暴露在低溫和向外的強(qiáng)磁場中，然后讓電流流過裝置，測(cè)量其兩端的電壓以找到霍爾電導(dǎo)。他的發(fā)現(xiàn)令人出乎意料：霍爾電導(dǎo)表現(xiàn)為穩(wěn)定的平臺(tái)，被 /? 的整數(shù)倍精確量子化，其中是電子電荷，?是普朗克常量。事實(shí)上，這種量子化足夠的魯棒和精確，后來成為2019年國際單位制中對(duì)千克的新定義的一部分。
圖2. 霍爾電導(dǎo)和磁場的關(guān)系。可以看到，霍爾電導(dǎo)表現(xiàn)為穩(wěn)定的平臺(tái)，被 /? 的整數(shù)倍精確量子化。| 圖片來源：Klaus von Klitzing/1985 Nobel Lecture
1982年，西雅圖華盛頓大學(xué)的 David Thouless 和他的同事證明，二維量子霍爾效應(yīng)的起源在于電子能帶的拓?fù)湫再|(zhì)。這一認(rèn)識(shí)在一定程度上是 Thouless 獲得2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的原因。霍爾電導(dǎo)中的整數(shù)與稱為第一陳數(shù)的二維拓?fù)鋽?shù)有關(guān)，其保證了材料邊緣周圍存在拓?fù)潆娏鱗1]（見圖1）。換句話說，二維量子霍爾系統(tǒng)是現(xiàn)在被稱為拓?fù)浣^緣體的一個(gè)例子，霍爾電導(dǎo)的魯棒性是其關(guān)鍵實(shí)驗(yàn)特征之一。
方框1：沿著邊緣的跳躍
二維量子霍爾邊緣電流的起源是什么？經(jīng)典的情況是，當(dāng)一個(gè)受限于二維運(yùn)動(dòng)的帶電粒子受到一個(gè)向外的磁場B時(shí)，會(huì)在塊體中產(chǎn)生封閉的旋轉(zhuǎn)軌道（深藍(lán)色圓圈），但沿著盒子的邊界（淺藍(lán)色箭頭）會(huì)產(chǎn)生單向跳躍。即使邊界變形，這些跳躍的軌道也會(huì)沿著磁場的方向繼續(xù)移動(dòng)。在量子力學(xué)情形下，這種行為轉(zhuǎn)化為拓?fù)浣^緣體特有的絕緣體態(tài)能帶和魯棒的導(dǎo)電邊緣態(tài)。
圖3. 二維量子霍爾效應(yīng)示意圖。
在發(fā)現(xiàn)二維量子霍爾效應(yīng)后，理論物理學(xué)家提出，某些三維材料也具有以第一陳數(shù)為特征的能帶，但在這種情況下，陳數(shù)是三元數(shù)組：其中每個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于三維材料的三個(gè)笛卡爾平面。理論上的三維量子霍爾效應(yīng)于2019年在五碲鋯晶體中通過實(shí)驗(yàn)觀察到。[2]但三維量子霍爾效應(yīng)通常被稱為弱拓?fù)洮F(xiàn)象，因?yàn)殛P(guān)鍵特性（例如第一陳數(shù)）本質(zhì)上仍然是二維概念，即使系統(tǒng)是三維的。因此，由此產(chǎn)生的拓?fù)湫袨橛袝r(shí)可能不太魯棒。
然而，在四個(gè)空間維度的情形下，一種在根本上不同的量子霍爾效應(yīng)由瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的 Jürg Fröhlich 和 Bill Pedrini，以及斯坦福大學(xué)的張首晟和胡江平在21世紀(jì)初獨(dú)立提出。[3]該四維量子霍爾效應(yīng)具有與二維霍爾效應(yīng)不同的量子化霍爾電導(dǎo)形式，并且與一個(gè)稱為第二陳數(shù)的四維拓?fù)洳蛔兞?/strong>有關(guān)，該不變量產(chǎn)生了三維導(dǎo)電表面體積，如圖1所示。
迄今為止，科學(xué)家已經(jīng)提出了各種四維量子霍爾模型。[3-5]有些模型類似于二維量子霍爾效應(yīng)，描述磁場中的帶電粒子。其他模型，如張首晟和胡江平的模型，利用楊-米爾斯規(guī)范場（Yang–Mills gauge field）的物理，如方框2所解釋的，并從粒子物理學(xué)中汲取靈感。[6]
方框2. 奇異的單極子
一種考慮拓?fù)浔茫╰opological pumping）的方式是，它用外部控制的參數(shù)取代了哈密頓量中的一些真實(shí)空間維度。但是如果所有的空間維度都被換成了外部控制的參數(shù)，那么就不需要真實(shí)的空間自由度來模擬更高的維度了。
2018年，Seiji Sugawa、Ian Spielman 和他們?cè)诼?lián)合量子研究所和馬里蘭大學(xué)的同事使用了這種類型的方法。受張首晟和胡江平關(guān)于四維量子霍爾效應(yīng)的工作啟發(fā)，[4]研究人員在一個(gè)有效的五維參數(shù)空間中，通過耦合原子量子氣體的四個(gè)內(nèi)部狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)?zāi)M了所謂的楊氏單極子（Yang monopole）。[16]與保羅·狄拉克（Paul Dirac）假定假想的磁單極子是磁場的來源類似，楊氏單極子被提議作為五維的楊-米爾斯規(guī)范場的來源。Sugawa、Spielman和他們的同事確定了模擬單極子的性質(zhì)，并驗(yàn)證了它可以被第二陳數(shù)加以區(qū)分，正如預(yù)測(cè)的那樣。
最近，在2020年，類似的實(shí)驗(yàn)方法已經(jīng)模擬了所謂的四維張量單極子（tensor monopole），它被假設(shè)為張量規(guī)范場的來源，其特征是一種稱為 Dixmier-Douady 不變量的奇異拓?fù)鋽?shù)[14]。
四維量子霍爾效應(yīng)并不是故事的終點(diǎn)。在過去20年里，其他的量子霍爾效應(yīng)已經(jīng)在六維和八維系統(tǒng)中被預(yù)測(cè)，許多其他的二維和三維拓?fù)浣^緣體也已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)，它們需要除陳數(shù)之外的拓?fù)洳蛔兞俊1] 將物質(zhì)的拓?fù)湎鄤澐譃槿我饪臻g維數(shù)的數(shù)學(xué)分類也表明，其他更高維度的現(xiàn)象正等待被發(fā)現(xiàn)。[6]
盡管二維和三維量子霍爾效應(yīng)是在固體材料中觀察到的，如果要將更高維度的物理學(xué)帶入實(shí)驗(yàn)室，則需要超越固體材料的范疇，考慮其他更可控的平臺(tái)。
許多拓?fù)涮匦噪m然最初與電子輸運(yùn)聯(lián)系起來，現(xiàn)在反而被理解為源于能帶理論和普通的波物理學(xué)。[5]換句話說，拓?fù)鋽?shù)，如第一陳數(shù)，也適用于超冷原子、經(jīng)典光波、機(jī)械振蕩和海洋表面的波，這里只列舉一些可能性。
直觀上，經(jīng)典波或無相互作用的玻色子不應(yīng)該被稱為拓?fù)浣^緣體，因?yàn)槿绻麤]有泡利不相容原理或其他效應(yīng)來填充能帶中的態(tài)，這些系統(tǒng)就不會(huì)是通常意義上的絕緣體。然而，目前的慣例是，只要物理是從具有良好定義的拓?fù)鋽?shù)的能帶中導(dǎo)出，就使用拓?fù)浣^緣體這個(gè)名詞。[5]
探測(cè)非電子系統(tǒng)的拓?fù)湮锢韺W(xué)需要不同的實(shí)驗(yàn)方法，因?yàn)檫@些系統(tǒng)不再具有霍爾電導(dǎo)中魯棒的量子化平臺(tái)。對(duì)于基于波的系統(tǒng)，最重要的實(shí)驗(yàn)特征通常是存在局域于系統(tǒng)表面的魯棒振動(dòng)模式，處于禁止穿透塊體的頻率。在這些情況下，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，波可以在表面?zhèn)鞑ィ荒茉趬K體內(nèi)部傳播，如圖1所示。這種拓?fù)浔Ｗo(hù)可能有朝一日對(duì)諸如光子學(xué)器件在內(nèi)的應(yīng)用非常有用，因?yàn)樗峁┝艘环N方法，可以魯棒地引導(dǎo)光繞過在器件制造過程中引入的任何無序和缺陷。[5]
向非電子平臺(tái)的擴(kuò)展也有利于對(duì)拓?fù)洮F(xiàn)象的研究。其中許多平臺(tái)比真實(shí)的材料更容易調(diào)控，因此使科學(xué)家們能夠在目前固體物理學(xué)可研究的范圍之外進(jìn)行探索。[5]作為推動(dòng)工作的一部分，研究人員已經(jīng)發(fā)展了模擬額外維度的實(shí)驗(yàn)技巧，部分原因是為了探測(cè)高維拓?fù)浣^緣體。三個(gè)主要的方法是拓?fù)浔?/strong>（topological pumping）、連接（connectivity）和人工維度（synthetic dimensions），盡管其他方案也在開發(fā)中。
方法1：拓?fù)浔?/strong>
最早但也許是最抽象的模仿高維度的技巧之一是拓?fù)浔?/strong>（topological pumping）。這個(gè)概念由 Thouless 作為實(shí)現(xiàn)二維量子霍爾效應(yīng)的一種方法在1981年首次提出。他預(yù)測(cè)，緩慢地調(diào)整某些類型的一維量子系統(tǒng)的參數(shù)可以魯棒地在系統(tǒng)中泵送粒子。[1]
最簡單的例子從一種絕緣體開始，其中粒子占據(jù)一維周期勢(shì)阱鏈的每個(gè)極小值。如果整體電勢(shì)的空間位置被緩慢地調(diào)整，使整個(gè)晶體沿著鏈滑動(dòng)，那么由此產(chǎn)生的最小值點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就會(huì)拖動(dòng)粒子與其一起運(yùn)動(dòng)。Thouless 不僅計(jì)算出這種魯棒的粒子輸運(yùn)是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞康漠a(chǎn)物，而且該不變量與二維量子霍爾效應(yīng)中的二維拓?fù)鋽?shù)（第一陳數(shù)）相同。這一結(jié)果表明，從某種意義上說，一維拓?fù)浔檬嵌S量子霍爾效應(yīng)的動(dòng)態(tài)版本，這一點(diǎn)后來已在實(shí)驗(yàn)中得到探索。
從一維到二維似乎與高維物理學(xué)相去甚遠(yuǎn)。但在2013年，以色列魏茨曼科學(xué)研究所的Yaacov Kraus、英國牛津大學(xué)的Zohar Ringel和蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的Oded Zilberberg預(yù)測(cè)，二維拓?fù)浔门c四維量子霍爾效應(yīng)的四維拓?fù)鋽?shù)（第二陳數(shù)）有關(guān)。[4]
該預(yù)言在2018年 Zilberberg 領(lǐng)導(dǎo)的兩個(gè)補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)中被證明是正確的。一個(gè)是他與賓夕法尼亞州立大學(xué)的 Mikael Rechtsman 團(tuán)隊(duì)在光子學(xué)體系中進(jìn)行；另一個(gè)是與德國馬克思·普朗克量子光學(xué)研究所和慕尼黑大學(xué)的 Immanuel Bloch 團(tuán)隊(duì)以及我在伯明翰大學(xué)的合作者在冷原子體系中完成的[7]。這些實(shí)驗(yàn)分別在光在波導(dǎo)陣列邊緣的傳播和原子在系統(tǒng)中的凈運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)了四維量子霍爾效應(yīng)的特征，后來又被其他課題組推廣到聲學(xué)平臺(tái)上。
拓?fù)浔糜性S多內(nèi)在的限制，因?yàn)樗举|(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技巧，基于巧妙的方法切割更高維模型。實(shí)際上，粒子只能在低維系統(tǒng)中移動(dòng)，而不具有足夠的高維自由度。通過其他類型的實(shí)驗(yàn)方案，可能實(shí)現(xiàn)更接近真實(shí)的高維系統(tǒng)。
方法2：電路連接
模擬更高空間維度的第二種方法是基于連接的概念，這可以從離散晶格模型開始理解。在這些模型中，粒子只能存在于一組晶格位點(diǎn)上。這些格點(diǎn)可以表示為分布在空間中的一組離散的點(diǎn)，如圖4所示。根據(jù)模型的具體情況，粒子可以在成對(duì)的格點(diǎn)之間跳躍，如虛線所示。這種離散的晶格模型是真實(shí)系統(tǒng)的常見近似，包括電子在固體材料中移動(dòng)和電流在電路中移動(dòng)。它們還可以識(shí)別和分離現(xiàn)象的基本組成成分。
圖4. 更高維的格子可以在低維系統(tǒng)中構(gòu)建。在左邊，一個(gè)二維的離散晶格模型是由格點(diǎn)（圓圈）與連接（線）組成的。如果保持相同的連接，相同的晶格可以有效地嵌入到一維中。在右邊，這種嵌入技巧被用來將四維晶格編碼到這個(gè)三維電路板堆中。
理解高維模擬的關(guān)鍵在于，離散格點(diǎn)模型本質(zhì)上是一個(gè)由節(jié)點(diǎn)（如格點(diǎn)）和連接（如允許的跳躍）組成的網(wǎng)絡(luò)。這一觀點(diǎn)表明，只要所有連接都相同，節(jié)點(diǎn)在實(shí)空間中的物理位置并不重要。
例如，如果每行的節(jié)點(diǎn)都是首位相連地排列，則圖4中的二維方晶格可以轉(zhuǎn)化為一維鏈。只要節(jié)點(diǎn)之間存在相同類型的連接，該系統(tǒng)就會(huì)遵守與之前相同的數(shù)學(xué)方程。在某種意義上，這個(gè)過程將二維模型嵌入到一維系統(tǒng)中——盡管是一個(gè)奇怪的一維系統(tǒng)，其中一些短程連接缺失，而其他長程連接出現(xiàn)。
同樣的想法也可以延伸到更高維的格點(diǎn)上——例如，用三維或二維系統(tǒng)創(chuàng)建一個(gè)四維格點(diǎn)模型。因此，嵌入技巧提供了一個(gè)在真實(shí)的物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)四維晶格模型的訣竅，但卻面臨著調(diào)控節(jié)點(diǎn)之間復(fù)雜連接的挑戰(zhàn)。
在2013年的一個(gè)早期方案中，克羅地亞薩格勒布大學(xué)的 Dario Juki? 和 Hrvoje Buljan 設(shè)想用光子波導(dǎo)模擬一個(gè)離散的四維晶格。[8]從那時(shí)起，研究興趣就集中在更靈活的系統(tǒng)上，如電路，以及如何將由電感、電容和電阻組成的格點(diǎn)連在一起，實(shí)現(xiàn)四維拓?fù)淠Ｐ偷母鞣N方案。
2020年，作者和新加坡南洋理工大學(xué)的 You Wang、Baile Zhang、Yidong Chong首次在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用了該方法，如圖4所示。他們創(chuàng)建了一個(gè)小型的四維拓?fù)渚Ц瘢?44個(gè)嵌入電路的格點(diǎn)。在實(shí)驗(yàn)中，他們?cè)O(shè)計(jì)了一疊三維電路板，并將它們連在一起，以匹配四維量子霍爾效應(yīng)的四維離散晶格模型。正如對(duì)四維拓?fù)浣^緣體的預(yù)測(cè)，他們觀察到電流流經(jīng)四維拓?fù)浣^緣體表面的格點(diǎn)，但沒有流經(jīng)塊體內(nèi)部。
這些電路實(shí)驗(yàn)確實(shí)有局限性，因?yàn)樗鼈兺ǔ２荒芡瑫r(shí)獲得態(tài)的整個(gè)能譜。它們也是經(jīng)典的系統(tǒng)，不能表現(xiàn)出量子效應(yīng)。盡管如此，制造電路的簡單性和靈活性使它們成為探索四維物理學(xué)的一條富有成效的途徑。
方法3：人工維度
最后一招——人工維度——最接近于真正模擬在四維運(yùn)動(dòng)的粒子。該方法將系統(tǒng)的一些內(nèi)部狀態(tài)或內(nèi)在屬性解釋為沿著一個(gè)假想的額外維度的格點(diǎn)。[5]通過將該策略與其他真實(shí)或人工維度相結(jié)合，它有可能實(shí)現(xiàn)高維晶格模型。
為了了解這個(gè)方案是如何運(yùn)作的，我們考慮一個(gè)被囚禁在真空室中并被冷卻到接近絕對(duì)零度的全同原子氣體的例子。每個(gè)原子都有各種可能的內(nèi)部原子自旋態(tài)，它們對(duì)應(yīng)于組成它的電子和原子核的不同構(gòu)型。如圖5所示，將合適的激光照射到原子上，可以刺激它們?cè)谶@些內(nèi)部狀態(tài)之間按一定次序轉(zhuǎn)換。隨著這些轉(zhuǎn)換的發(fā)生，原子的自旋態(tài)標(biāo)記會(huì)逐步改變，類似于粒子在格點(diǎn)之間跳躍時(shí)離散空間坐標(biāo)的變化。這個(gè)類比強(qiáng)大而有效，它將不同的自旋態(tài)重組以張成一個(gè)人工維度。
圖5. 人工維度將原子自旋態(tài)或其他內(nèi)部狀態(tài)或內(nèi)在屬性變成類似于空間維度的東西。一個(gè)二維離散晶格模型（左）包括一個(gè)真實(shí)空間維度和一個(gè)由原子自旋態(tài)組成的人工維度。沿著真實(shí)維度的跳躍（實(shí)線）對(duì)應(yīng)于真實(shí)的原子運(yùn)動(dòng)，而沿著人工維度的跳躍（虛線）對(duì)應(yīng)于激光誘導(dǎo)的自旋態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。四維超立方晶格的單胞（右）是一個(gè)超立方體。這種形狀可以用真實(shí)和人工空間維度的適當(dāng)組合來制作。
原子自旋態(tài)的人工維度的想法起源于2012年西班牙巴塞羅那大學(xué)的 Octavi Boada 和 José Ignacio Latorre 以及巴塞羅那光子科學(xué)研究所的 Alessio Celi 和 maciej Lewenstein 的工作。[10]三年后，同樣的想法被擴(kuò)展到離散二維量子霍爾效應(yīng)晶格模型，包括一個(gè)真實(shí)維度和一個(gè)人工維度，在冷原子實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)，如方框3所示。在未來，該方法可能被進(jìn)一步推動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)四維拓?fù)淠Ｐ汀?/p>
方框3：人工維度中的跳躍
2015年，LENS（歐洲非線性光譜實(shí)驗(yàn)室）和佛羅倫薩大學(xué)的 Leonardo Fallani 和 Massimo Inguscio 課題組以及聯(lián)合量子研究所和馬里蘭大學(xué)帕克分校的 Ian Spielman 課題組都實(shí)現(xiàn)了一個(gè)二維量子霍爾系統(tǒng)，包含一個(gè)真實(shí)空間維度和一個(gè)三原子自旋態(tài)的人工維度，[17,18]與圖5相似。如圖6所示，這些系統(tǒng)表現(xiàn)出霍爾物理的關(guān)鍵特征：沿系統(tǒng)邊緣跳躍的軌道，類似于帶電粒子在磁場中的軌道，如方框1所解釋的那樣。
圖6. 二維量子霍爾系統(tǒng)，包含一個(gè)真實(shí)空間維度和一個(gè)三原子自旋態(tài)的人工維度。
自2015年以來，人工維度領(lǐng)域得到了極大的擴(kuò)展。一個(gè)突出的創(chuàng)新是將冷原子中的自旋態(tài)換成原子動(dòng)量態(tài)。動(dòng)量態(tài)可以通過如下方式耦合成一個(gè)人工維度：脈沖駐波光，光波會(huì)移動(dòng)原子，沿著波的方向量子化地改變它們的動(dòng)量。[5]英國劍橋大學(xué)的 Ulrich Schneider 課題組最近將這種方法擴(kuò)展到四束獨(dú)立的駐波光，每束光都指向二維平面的不同方向。[11]這一進(jìn)展同時(shí)創(chuàng)造了多達(dá)四個(gè)人工維度。[11]雖然還沒有拓?fù)湫?yīng)，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以用原子在四維超立方晶格上跳躍來解釋，如圖5所示，該晶格由動(dòng)量態(tài)組成。
近年來，光子學(xué)在人工維度方面也取得了重大發(fā)展。最值得注意的是兩種方案：一種是由環(huán)形腔的頻率模式形成的人工維度，另一種是由波導(dǎo)陣列的晶格模式形成的人工維度。斯坦福大學(xué)的Shanhui Fan和他的同事展示了基于單光子腔的頻率模式的兩個(gè)同時(shí)獨(dú)立的人工維度。[12]海法以色列理工學(xué)院的Mordechai Segev小組提出并進(jìn)行了基于晶格模式的實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)已經(jīng)揭示了具有人工維度的二維和三維拓?fù)溥吘壩锢怼＿@兩種方法將來都有可能實(shí)現(xiàn)四維拓?fù)浣^緣體。
盡管過去幾年取得了如此多的進(jìn)展，模擬四維物理的實(shí)驗(yàn)仍處于早期階段。拓?fù)浔靡呀?jīng)成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)技巧來觀察四維效應(yīng)的特征，但不能完全刻畫四維動(dòng)力學(xué)。電路可以刻畫四維拓?fù)渚Ц竦娜窟B接，但尚未提供對(duì)四維物理的完全實(shí)現(xiàn)。在未來，所有這些限制將有望被人工維度所克服，在人工維度中，粒子或許能夠像在四維空間中一樣移動(dòng)。
人工維度也可能揭示了思考三維世界的新方法。畢竟，一個(gè)人工維度是由現(xiàn)有的物理自由度耦合而成。例如，創(chuàng)建一個(gè)光頻模式的人工維度涉及到控制光的頻率，而在這樣的設(shè)置中尋找拓?fù)溥吘夒娏鳎瑒t與確定一種新的機(jī)制來魯棒地輸送光或轉(zhuǎn)換光的頻率有關(guān)。長遠(yuǎn)來看，通過為理解和設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)提供另一種觀點(diǎn)，人工維度可能會(huì)在光頻隔離器或光的光譜操縱方面得到應(yīng)用。[5,12]
就基礎(chǔ)科學(xué)而言，還有很多四維物理有待探索。本文的主題都是單粒子物理學(xué)，即粒子與粒子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。在理論上理解四維現(xiàn)象只需少數(shù)幾步，例如張首晟和胡江平提出的將二維分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)推廣到四維的建議[3]。了解在更高維度上可能出現(xiàn)的多體物理，以及這些現(xiàn)象是否可以用目前的實(shí)驗(yàn)技巧來實(shí)現(xiàn)，需要進(jìn)一步的工作。
從實(shí)驗(yàn)的觀點(diǎn)看，未來的一個(gè)挑戰(zhàn)是，粒子與粒子之間的相互作用自然取決于真實(shí)三維世界中的粒子分離，而不是合成四維系統(tǒng)中的粒子分離。[5] 例如，在人工維度的情況下，只要兩個(gè)處于不同自旋態(tài)的原子占據(jù)相同的物理位置，它們往往會(huì)具有強(qiáng)烈的相互作用。這些相互作用對(duì)應(yīng)于沿人工維度的奇怪的非局域相互作用。研究人員正在發(fā)展各種方法來理解和解決此類問題。
最后，盡管對(duì)四維物理的模擬始于四維量子霍爾效應(yīng)，但未來該領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出該效應(yīng)。最近的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)顯示了其他的拓?fù)湫?yīng)，如方框2中描述的奇異的四維張量單極子[14]。其他的實(shí)驗(yàn)技巧也在發(fā)展之中，包括基于多端約瑟夫森結(jié)，利用超導(dǎo)相取代空間自由度的方案[15]。在不久的將來，更多的四維物理將在實(shí)驗(yàn)室中得到模擬。
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原文題目：
Simulating four-dimensional physics in the laboratory
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https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/PT.3.4981
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