程序員面試常問(wèn)的小算法總結(jié)-魔扣目錄

圖的最短路徑算法

Floyd最短路算法（多源最短路）

參考：https://www.cnblogs.com/ahalei/p/3622328.html

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上圖中有4個(gè)城市8條公路，公路上的數(shù)字表示這條公路的長(zhǎng)短。請(qǐng)注意這些公路是單向的。我們現(xiàn)在需要求任意兩個(gè)城市之間的最短路程，也就是求任意兩個(gè)點(diǎn)之間的最短路徑。這個(gè)問(wèn)題這也被稱為“多源最短路徑”問(wèn)題。

現(xiàn)在需要一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)圖的信息，我們?nèi)匀豢梢杂靡粋€(gè)4*4的矩陣（二維數(shù)組e）來(lái)存儲(chǔ)。

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核心代碼：

這段代碼的基本思想就是：

最開(kāi)始只允許經(jīng)過(guò)1號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，接下來(lái)只允許經(jīng)過(guò)1和2號(hào)頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)……允許經(jīng)過(guò)1~n號(hào)所有頂點(diǎn)進(jìn)行中轉(zhuǎn)，求任意兩點(diǎn)之間的最短路程。用一句話概括就是：從i號(hào)頂點(diǎn)到j(luò)號(hào)頂點(diǎn)只經(jīng)過(guò)前k號(hào)點(diǎn)的最短路程。

Dijkstra最短路算法（單源最短路）

參考：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799

指定一個(gè)點(diǎn)（源點(diǎn)）到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的1號(hào)頂點(diǎn)到2、3、4、5、6號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。

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仍然使用二維數(shù)組e來(lái)存儲(chǔ)頂點(diǎn)之間邊的關(guān)系，初始值如下。

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我們還需要用一個(gè)一維數(shù)組dis來(lái)存儲(chǔ)1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程，如下。

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將此時(shí)dis數(shù)組中的值稱為最短路的“估計(jì)值”。

既然是求1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個(gè)離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)數(shù)組dis可知當(dāng)前離1號(hào)頂點(diǎn)最近是2號(hào)頂點(diǎn)。當(dāng)選擇了2號(hào)頂點(diǎn)后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱?ldquo;確定值”，即1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前dis[2]值。

既然選了2號(hào)頂點(diǎn)，接下來(lái)再來(lái)看2號(hào)頂點(diǎn)有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過(guò)2->3這條邊能否讓1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程變短。也就是說(shuō)現(xiàn)在來(lái)比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號(hào)頂點(diǎn)先到2號(hào)頂點(diǎn)，再通過(guò)2->3這條邊，到達(dá)3號(hào)頂點(diǎn)的路程。

這個(gè)過(guò)程有個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)叫做“松弛”。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

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接下來(lái)，繼續(xù)在剩下的3、4、5和6號(hào)頂點(diǎn)中，選出離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)4，變?yōu)榇_定值，以此類推。

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最終dis數(shù)組如下，這便是1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。

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M：邊的數(shù)量
N：節(jié)點(diǎn)數(shù)量

通過(guò)上面的代碼我們可以看出，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(N^2)。其中每次找到離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度是O(N)

優(yōu)化:

這里我們可以用“堆”（以后再說(shuō)）來(lái)優(yōu)化，使得這一部分的時(shí)間復(fù)雜度降低到O(logN)。
另外對(duì)于邊數(shù)M少于N^2的稀疏圖來(lái)說(shuō)（我們把M遠(yuǎn)小于N^2的圖稱為稀疏圖，而M相對(duì)較大的圖稱為稠密圖），我們可以用鄰接表來(lái)代替鄰接矩陣，使得整個(gè)時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化到O( (M+N)logN)。
請(qǐng)注意！在最壞的情況下M就是N^2，這樣的話MlogN要比N^2還要大。但是大多數(shù)情況下并不會(huì)有那么多邊，因此(M+N)logN要比N2小很多。

用鄰接表代替鄰接矩陣存儲(chǔ)

參考：http://blog.51cto.com/ahalei/1391988

略微難懂，請(qǐng)參考原文

總結(jié)如下：

可以發(fā)現(xiàn)使用鄰接表來(lái)存儲(chǔ)圖的時(shí)間空間復(fù)雜度是O(M)，遍歷每一條邊的時(shí)間復(fù)雜度是也是O(M)。如果一個(gè)圖是稀疏圖的話，M要遠(yuǎn)小于N^2。因此稀疏圖選用鄰接表來(lái)存儲(chǔ)要比鄰接矩陣來(lái)存儲(chǔ)要好很多。

漢諾塔

參考圖例：https://www.zhihu.com/question/24385418/answer/89435529

關(guān)鍵代碼：

楊輝三角

參考：https://blog.csdn.net/zmy_3/article/details/51173580

關(guān)鍵代碼（巧用Python中的yield）：

注釋：N加上一個(gè)0之后，最后一個(gè)數(shù)是1+0，直接就等于1，不會(huì)有0

回文數(shù)/回文串

解法一：暴力

解法二：分字符串和數(shù)字

斐波拉契數(shù)列(Fibonacci)

最大子序列與最大子矩陣問(wèn)題

數(shù)組的最大子序列問(wèn)題

給定一個(gè)數(shù)組，其中元素有正，也有負(fù)，找出其中一個(gè)連續(xù)子序列，使和最大。

參考自己的博客：https://blog.csdn.net/qqxx6661/article/details/78167981

可以理解為動(dòng)態(tài)規(guī)劃：

可以用標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解也可以用直接方法求解，但思路都是動(dòng)態(tài)規(guī)劃

最大子矩陣問(wèn)題

給定一個(gè)矩陣（二維數(shù)組），其中數(shù)據(jù)有大有小，請(qǐng)找一個(gè)子矩陣，使得子矩陣的和最大，并輸出這個(gè)和。

參考：https://blog.csdn.net/kavu1/article/details/50547401

思路：

原始矩陣可以是二維的。假設(shè)原始矩陣是一個(gè)3 * n 的矩陣，那么它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。如果是1*K，這里有3種情況：子矩陣在第一行，子矩陣在第二行，子矩陣在第三行。如果是 2 * k，這里有兩種情況，子矩陣在第一、二行，子矩陣在第二、三行。如果是3 * k，只有一種情況。

為了能夠找出最大的子矩陣，我們需要考慮所有的情況。假設(shè)這個(gè)子矩陣是 2 * k, 也就是說(shuō)它只有兩行，要找出最大子矩陣，我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加，情況就和求“最大子段和問(wèn)題” 又是一樣的了。

KMP算法

原理參考：

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm.html

移動(dòng)位數(shù) = 已匹配的字符數(shù) - 對(duì)應(yīng)的部分匹配值

"部分匹配值"就是"前綴"和"后綴"的最長(zhǎng)的共有元素的長(zhǎng)度。以"ABCDABD"為例，

實(shí)現(xiàn)參考自己的博客：

https://blog.csdn.net/qqxx6661/article/details/79583707

LCS/最長(zhǎng)公共子序列/最長(zhǎng)公共子串

參考自己的博客：

https://blog.csdn.net/qqxx6661/article/details/79587392

最長(zhǎng)公共子序列LCS

動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式

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最長(zhǎng)公共回文子串

動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程式

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求圓周率

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大數(shù)問(wèn)題（加減乘除）

加法

對(duì)應(yīng)位置相加，考慮進(jìn)位，前面不夠補(bǔ)0

減法

和相加十分類似

就是按照我們手寫(xiě)除法時(shí)的方法，兩個(gè)數(shù)字末位對(duì)齊，從后開(kāi)始，按位相減，不夠減時(shí)向前位借一。
最終結(jié)果需要去除首端的0.如果所有位都是0，則返回0。

乘法

大數(shù)乘法問(wèn)題及其高效算法：

https://blog.csdn.net/u010983881/article/details/77503519

方法：

模擬小學(xué)乘法：最簡(jiǎn)單的乘法豎式手算的累加型；

自己實(shí)現(xiàn)的：https://blog.csdn.net/qqxx6661/article/details/78119074

分治乘法：最簡(jiǎn)單的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；

見(jiàn)下方

快速傅里葉變換FFT：（為了避免精度問(wèn)題，可以改用快速數(shù)論變換FNTT），時(shí)間復(fù)雜度O(N lgN lglgN)。具體可參照Schönhage–Strassen algorithm；
中國(guó)剩余定理：把每個(gè)數(shù)分解到一些互素的模上，然后每個(gè)同余方程對(duì)應(yīng)乘起來(lái)就行；
Furer’s algorithm：在漸進(jìn)意義上FNTT還快的算法。不過(guò)好像不太實(shí)用，本文就不作介紹了。大家可以參考維基百科

方法2：

參考：

https://blog.csdn.net/jeffleo/article/details/53446095

Karatsuba乘法（公式和下面代碼實(shí)現(xiàn)的不同，但是原理相同，可以直接背下方代碼）