在回溯算法：求組合問(wèn)題！中，我們通過(guò)回溯搜索法，解決了n個(gè)數(shù)中求k個(gè)數(shù)的組合問(wèn)題。

文中的回溯法是可以剪枝優(yōu)化的，本篇我們繼續(xù)來(lái)看一下題目77. 組合。

鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/combinations/

「看本篇之前，需要先看回溯算法：求組合問(wèn)題！」。

大家先回憶一下[77. 組合]給出的回溯法的代碼：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合條件結(jié)果的集合
    vector<int> path; // 用來(lái)存放符合條件結(jié)果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 處理節(jié)點(diǎn) 
            backtracking(n, k, i + 1); // 遞歸
            path.pop_back(); // 回溯，撤銷處理的節(jié)點(diǎn)
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不寫
        path.clear();   // 可以不寫
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝優(yōu)化

我們說(shuō)過(guò)，回溯法雖然是暴力搜索，但也有時(shí)候可以有點(diǎn)剪枝優(yōu)化一下的。

在遍歷的過(guò)程中有如下代碼：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { 
    path.push_back(i); 
    backtracking(n, k, i + 1); 
    path.pop_back(); 
}

這個(gè)遍歷的范圍是可以剪枝優(yōu)化的，怎么優(yōu)化呢？

來(lái)舉一個(gè)例子，n = 4，k = 4的話，那么第一層for循環(huán)的時(shí)候，從元素2開始的遍歷都沒(méi)有意義了。在第二層for循環(huán)，從元素3開始的遍歷都沒(méi)有意義了。

這么說(shuō)有點(diǎn)抽象，如圖所示：

圖中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)（圖中為矩形），就代表本層的一個(gè)for循環(huán)，那么每一層的for循環(huán)從第二個(gè)數(shù)開始遍歷的話，都沒(méi)有意義，都是無(wú)效遍歷。

「所以，可以剪枝的地方就在遞歸中每一層的for循環(huán)所選擇的起始位置」。

「如果for循環(huán)選擇的起始位置之后的元素個(gè)數(shù) 已經(jīng)不足我們需要的元素個(gè)數(shù)了，那么就沒(méi)有必要搜索了」。

注意代碼中i，就是for循環(huán)里選擇的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {

接下來(lái)看一下優(yōu)化過(guò)程如下：

已經(jīng)選擇的元素個(gè)數(shù)：path.size();
還需要的元素個(gè)數(shù)為: k - path.size();
在集合n中至少要從該起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，開始遍歷

為什么有個(gè)+1呢，因?yàn)榘ㄆ鹗嘉恢茫覀円且粋€(gè)左閉的集合。

舉個(gè)例子，n = 4，k = 3，目前已經(jīng)選取的元素為0（path.size為0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

從2開始搜索都是合理的，可以是組合[2, 3, 4]。

這里大家想不懂的話，建議也舉一個(gè)例子，就知道是不是要+1了。

所以優(yōu)化之后的for循環(huán)是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i為本次搜索的起始位置

優(yōu)化后整體代碼如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; 
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 優(yōu)化的地方
            path.push_back(i); // 處理節(jié)點(diǎn) 
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤銷處理的節(jié)點(diǎn)
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};