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時(shí)間序列分解是時(shí)序分析中的重要方法，廣泛應(yīng)用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)，時(shí)間序列異常檢測(cè)，時(shí)間序列聚類等場(chǎng)景，在工業(yè)界有很多的落地應(yīng)用。

一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合：

• 長期趨勢(shì)(Secular trend, T)：長期趨勢(shì)指現(xiàn)象在較長時(shí)期內(nèi)持續(xù)發(fā)展變化的一種趨向或狀態(tài)。
• 季節(jié)變動(dòng)(Seasonal Variation, S)：季節(jié)波動(dòng)是由于季節(jié)的變化引起的現(xiàn)象發(fā)展水平的規(guī)則變動(dòng)
• 循環(huán)波動(dòng)(Cyclical Variation, C)：循環(huán)波動(dòng)指以若干年為期限，不具嚴(yán)格規(guī)則的周期性連續(xù)變動(dòng)
• 不規(guī)則波動(dòng)(Irregular Variation, I): 不規(guī)則波動(dòng)指由于眾多偶然因素對(duì)時(shí)間序列造成的影響

其中循環(huán)波動(dòng)和季節(jié)變動(dòng)一般可整合分解為有規(guī)律的周期序列，而長期趨勢(shì)則可整合分解為趨勢(shì)序列。分解出這兩種序列是時(shí)序分解中的重要課題。

本次文章為大家整理分解周期序列和趨勢(shì)序列的方法。

概述

這里主要使用的技術(shù)是奇異譜分析（SSA)，其是根據(jù)觀測(cè)到的時(shí)間序列構(gòu)造軌跡矩陣，并對(duì)軌跡矩陣進(jìn)行分解和重構(gòu)，從而提取出代表原時(shí)間序列不同成分的信號(hào)，如長期趨勢(shì)信號(hào)、周期信號(hào)、噪聲信號(hào)等，從而進(jìn)一步對(duì)分解得到的信號(hào)進(jìn)行分析。

算法流程如下：

1. 根據(jù)原始時(shí)間序列構(gòu)建軌跡矩陣 X
2. 對(duì)矩陣X進(jìn)行奇異值分解
3. 按奇異值生成r個(gè)子矩陣
4. 根據(jù)某一分組原則將子矩陣 Xi 分為 m個(gè)組
5. 對(duì)子矩陣 Xi 進(jìn)行對(duì)角均值化處理得到子序列!
6. 對(duì)m個(gè)組中的子序列相加得到分組子序列。

矩陣分解

01 時(shí)間序列嵌入形成軌跡矩陣

輸入：原始時(shí)間序列y，窗口長度L

顯然矩陣X是一個(gè)漢克爾矩陣（每一條副對(duì)角線的元素都相等），矩陣的行數(shù)為窗口長度L，列數(shù)為N-L+1

02 奇異值分解

其中：

奇異值分解將軌跡矩陣 X 分解為酉矩陣 U，對(duì)角陣 ∑ 和酉矩陣V的線性組合。這意味著：

r表示矩陣X的非零特征根數(shù)也即矩陣的秩。

03 特征分組

不妨設(shè)根據(jù)某一分組原則將子矩陣分為了trend、periodic、noise 3組，對(duì)應(yīng)的矩陣X分解得到的子序列將被組合為3部分。

04 對(duì)角平均化

其中：

代碼實(shí)例

'''數(shù)據(jù)處理'''
import pandas as pd
import numpy as np
'''數(shù)據(jù)可視化'''
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.dpi'] = 800           #調(diào)整分辨率
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #顯示中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False   #正常顯示負(fù)號(hào)

###加載數(shù)據(jù)集###
file = r'D:/關(guān)注@公眾號(hào)｜機(jī)器學(xué)習(xí)研習(xí)院/crude-oil-price.csv'
oil_info = pd.read_csv(file,index_col='date')
price = oil_info['price']

# 算法封裝
class SSA(object):
    
    __supported_types = (pd.Series,np.ndarray,list) #限制時(shí)間序列的輸入類型
    
    def __init__(self,tseries,L):
        '''
        Args:
            tseries:原始時(shí)間序列
            L:窗口長度
        '''
        
        if not isinstance(tseries, self.__supported_types):
            raise TypeError("請(qǐng)確保時(shí)間序列的數(shù)據(jù)類型為Pandas Series,NumpPy array 或者list")
        else:
            self.orig_TS = pd.Series(tseries)
            
        self.N = len(tseries)        #原始時(shí)間序列長度
        if not 2 <= L <= self.N / 2:
            raise ValueError("窗口長度必須介于[2,N/2]")
        self.L = L                   #窗口長度，軌跡矩陣的行數(shù)
        self.K = self.N - self.L + 1 #軌跡矩陣的列數(shù)
        self.X = np.array([self.orig_TS.values[i:L+i] for i in range(0,self.K)]).T
        
        #奇異值分解
        self.U,self.Sigma,VH = np.linalg.svd(self.X)
        self.r = np.linalg.matrix_rank(self.X)    #矩陣的秩等于非零特征值的數(shù)量
        #每一個(gè)非零特征值都對(duì)應(yīng)一個(gè)子矩陣，子矩陣對(duì)角平均化后得到原始時(shí)間序列的一個(gè)子序列
        self.TS_comps = np.zeros((self.N,self.r)) 
        
        #對(duì)角平均還原
        for i in range(self.r):
            X_elem = self.Sigma[i] * np.outer(self.U[:,i], VH[i,:]) 
            X_rev = X_elem[::-1]
            self.TS_comps[:,i] = [X_rev.diagonal(j).mean() for j in range(-X_rev.shape[0]+1, X_rev.shape[1])]
            
    def comps_to_df(self):
        '''
        將子序列數(shù)組轉(zhuǎn)換成DataFrame類型
        '''
        cols = ["F{}".format(i) for i in range(self.r)]
        return pd.DataFrame(data=self.TS_comps,columns=cols,index=self.orig_TS.index)
    
    def reconsruct(self,indices):
        '''
        重構(gòu)，可以是部分重構(gòu)（相當(dāng)于子序列的分組合并），
        也可以是全部合并（重構(gòu)為原序列）
        Args:
            indices   重構(gòu)所選擇的子序列
        '''
        if isinstance(indices,int):
            indices = [indices]
        
        ts_vals = self.TS_comps[:,indices].sum(axis=1)
        return pd.Series(ts_vals,index=self.orig_TS.index)
    
    def vis(self):
        '''
        可視化子序列
        '''
        fig,axs = plt.subplots(self.r,sharex='all')
        for i in range(self.r):
            axs[i].plot(self.reconsruct(i),lw=1)
            

price_SSA = SSA(price,7)
comps_df = price_SSA.comps_to_df()

數(shù)據(jù)來源：
https://www.kaggle.com/code/naveenkonam1985/crude-oil-price-prediction/data