一、引言

眾所周知，交易策略的成功與否，拋開執行層面、心理層面和特殊人物被人刻意盯盤打壓的陰謀論層面的影響因素，主要取決于獲勝率、倉位比例、止損比例和盈虧比這四個因素。至于止盈比例，該參數與盈虧比是等價參數，在止損比例為常數的情況下，盈虧比確定后，也就確定了止盈比例，而止損比例的調整一般會影響到策略的獲勝率。

在獲勝率和止損比例確定的情況下，研究顯示，理論上確實存在保證交易策略從統計角度上獲得正收益的最小盈虧比之代數解，但大量的模擬測試的結果顯示，當獲勝率偏低時，這個理論盈虧比的代數解并不能保證策略在長期大量交易后獲得正收益。

出現這個現象的原因，主要是獲勝率較低時，失敗的交易，尤其是連續的失敗交易，對策略后期收益率的負面影響非常大，以至于經過“無數次交易”后，不僅不能保證交易策略獲得正收益，到可能在極短的時間內將資金虧完，被市場提前淘汰出局，也就是你連賭的機會都失去了。

跟蹤研究顯示，目前還沒有關于最小盈虧比計算公式的論文或文章，但從實踐中我們可以知道，一個信號系統的獲勝率與止損比例之間，似乎確實存在某種若隱若現可量化的關聯性。一般來說，止損比例稍微調高或調低點，要達到期望止盈比例的獲勝率都會相應地發生變化，策略的盈虧比也自然會相應發生變化。

當然，每個交易者都希望盈虧比越大越好，然而，這種美好的期望并不一定能夠實現，因此，研究最大盈虧比是沒有意義的，對實戰有幫助的，是去研究最小盈虧比，也就是保證策略長期交易后仍然能夠獲得正收益的最小盈虧比。

盈虧比不僅與止損比例有聯動性，而且從某種意義上決定了策略是否能夠長期生存，也就是說，類似賭局的交易是否能夠一直進行下去。也許，你覺得你的盈虧比夠大了，甚至這個盈虧比也滿足凱利公式，但實際上，這個你認為較大的盈虧比卻無法支撐你賭到最后。

因此，無論是交易員，還是投資公司風控部門的經理們，都希望有一個以某些參數為自變量的最小盈虧比計算公式，以便在策略投入運行前，可以借此判斷策略獲勝率、止損比例、持倉比例的組合，是否能夠保證交易策略長期下來獲得正收益的盈虧比最低要求。本文可以證明和驗證，這個盈虧比通用計算公式具有下面的形式：

其中，冪函數的顯性變量R為交易策略獲勝率，冪函數的系數μ和指數ρ均為持倉比例φ的線性函數，即持倉比例φ是公式的隱性變量，欲知公式的完整形式和推導過程，請耐心讀完全文。

二、研究目的和研究方法

本文的研究目的，是通過對交易策略最小盈虧比的取值進行量化研究，在假設止損比例為某個常數的情況下，建立一個以持倉比例和獲勝率為自變量的最小盈虧比通用計算公式，只要將持倉比例和獲勝率代入公式，即可快速計算得到一個保證策略安全運行的最小盈虧比，投資公司的風控部門結合該策略短期的運行數據，可以據此評估策略長期運行的安全性。

本文的研究方法如下：

1. 利用隨機函數生成一組0-1之間的隨機值，本文為500個隨機值。
2. 選擇隨機值的觸發閾值H（即理論獲勝率），隨機值小于或等于觸發閾值H，視為盈利信號，大于觸發閾值H，視為止損信號，并計算得到實際的獲勝率（不同信號序列采用相同策略進行比較時，要通過選擇理論獲勝率，使得兩個信號序列的實際獲勝率一樣）。
3. 給定止損比例（本文研究模型為常數20%）。
4. 給定持倉比例（一級變量）。
5. 選擇某個實際獲勝率（二級變量），當信號序號觸發盈利信號時，利用止盈比例計算出投入資金的盈利額，反之，當信號觸發止損信號時，利用止損比例計算出投入資金的虧損額，盈虧額累計并除以初始資金，得到策略的收益率曲線。
6. 通過計算機循環計算不同盈虧比的收益率曲線，可以得到給定交易策略500次交易后收益率“正好”為零值的盈虧比。
7. 給出新的實際獲勝率，即通過手動測試或計算機循環調整觸發閾值H得到新的實際獲勝率，重復步驟5和6，得到實際獲勝率分別為15、16%、......，58%、59%的45個保本盈虧比，通過獲勝率和盈虧比的散點圖，得到給定止損比例（常數）和持倉比例（一級變量取特定值）情況下，變量為獲勝率的保本盈虧比經驗公式。
8. 調整一級變量，即給出新的持倉比例，重復5-7步驟，獲得對應新的一級變量（持倉比例）的盈虧比經驗公式。
9. 研究不同一級變量（持倉比例）對應的盈虧比經驗公式，通過研究公式中參數與一級變量（持倉比例）之間的散點關系，最終獲得變量為獲勝率和持倉比例的通用經驗公式。

為描述和公式表達簡潔，采用下面術語符號“

三、理論上可保證策略盈利的概率平衡盈虧比

為了保證策略在長期交易后，仍然能夠以比較大的概率獲得正的收益率，可以列出下面的等式：

公式3就是從統計角度上看，策略經過“無數次”盈利和虧損交易后，能夠保證策略最終盈利的最小盈虧比。公式1左側的第1項的含義是獲勝率為R，總交易次數為TR的盈利交易的總盈利，第2項的含義是失敗率為（1-R），總交易次數為T（1-R）的虧損交易的總虧損。公式1的金融含義就是，符合獲勝率概率水平的“無數次”盈利交易的總盈利要大于或等于符合失敗概率水平的“無數次”虧損交易的總虧損。

但模擬數值分析顯示，公式3給出的盈虧比，在交易策略獲勝率偏低的一端，大概率情況下無法保證交易策略經過長期交易后仍然能夠獲得正的收益率。

造成這種現象的原因引言中已經簡單提及，即由于交易信號排列方式的不同，可能導致前期失敗交易的占比較大（因為獲勝率很低），使得策略某個階段累計虧損的幅度過大，因此無法在后期盈利信號正常出現時將敗局扭轉過來，也就是沒有等到交易信號的鐘擺擺回來，交易者就已經被淘汰出局了。

可見，獲勝率較低情況下，為了在連續失敗交易后仍然能夠存活，以保證策略長期交易后仍然能夠獲得正收益，策略要求的最小盈虧比肯定要比公式3給出的理論最小盈虧比大一些。具體要大多少，我們放在后面與數值分析得到的數值解進行分析時一起給出。

為了文字描述的方便和清晰，本文將公式3計算得到的盈虧比稱為“概率平衡盈虧比”，意思是公式3的盈虧比是通過建立概率平衡等式（公式1）得到的盈虧比。在資金量足夠大（不被淘汰出局），交易次數足夠多（信號分布的隨機性得到保證）情況下，依據概率平衡盈虧比進行交易，從純理論的角度看，交易者不會因破產而淘汰出局。

四、止損比例20%、建倉比例20%約束下的盈虧比經驗公式

為了最終得到止損比例為常數，自變量為獲勝率R和持倉比例φ的最小盈虧比通用計算公式，我們先研究止損比例和持倉比例φ均為常數，只有獲勝率R為自變量的最小盈虧比公式。

約束條件

1. 信號序列編號：2
2. 止損比例：20%
3. 持倉比例：20%
4. 總交易次數：500次

在上述約束條件下，給定不同的獲勝率R，通過數值計算逼近交易策略經過500次交易后到期收益率接近零值的盈虧比。這樣，我們可以得到圖1中的曲線。

圖1中藍色曲線，是按照公式3計算的概率平衡盈虧比隨獲勝率變化的曲線，橘紅色曲線是依據數值計算方法反推得到的不同獲勝率情況下500次交易到期時，收益率接近或正好等于零值的盈虧比曲線，筆者稱其為“數值計算保本盈虧比”。從圖1可見，理論推導得出的概率平衡盈虧比要比保證交易策略500次交易后收益率為零時的數值計算保本盈虧比曲線低，尤其是在獲勝率偏低的左側，偏低的幅度越來越大。

值得指出的是，圖1中的R是統計學中的相關系數，不是本文正文公式中的策略實際獲勝率R。考慮到筆者關于資金管理和交易策略的系列文章中，均用R表示策略的實際獲勝率，現在要改成其他符號，工作量太大，改起來也容易發生混淆，因此在這里出現符號撞車現象，但兩者的含義不同，特此說明。

圖1：建倉比例20%情況下最小盈虧比數值解與理論解曲線

為了完美，通過簡單的分析，幻想以歐拉那樣偉大科學家經常莫名其妙獲得美妙公式的直覺，可以將圖1中橘紅色曲線用下面的公式表達（下標值為建倉比例）：

公式4給出的盈虧比，是根據圖1中公式的系數和指數，找到最小分數替代后得到的完美盈虧比公式，其中的3/5=0.6，平方得到0.36，約等于圖1中的冪函數的系數0.3512（誤差為2.51%），而8/5=1.6，非常接近圖1中冪函數的指數1.599（誤差為0.06%），這樣調整后，圖1中以獲勝率為自變量的盈虧比擬合公式，就轉換為整數表達的完美公式，故稱為理想化盈虧比，以便與其他盈虧比稱呼有表達上的區別。

數值分析的結果顯示，理想化盈虧比曲線，稍微高出利用數值計算方法反推得到的500次交易收益為零的數值計算保本盈虧比曲線，從而能夠在保證策略長期運行安全性的前提下，降低策略實現的難度（因為要保證一定的盈虧比是很難的）。

圖2是概率平衡盈虧比（公式3）、理想化盈虧比（公式4）和數值計算保本盈虧比三者曲線對比圖。從圖中可以看出，數值計算保本盈虧比介于概率平衡盈虧比和理想化盈虧比之間，而后兩個盈虧比均是理論值，這說明可以通過兩個理論值的平均值，獲得能夠使500次交易到期收益率接近零值的盈虧比，而不用通過調整盈虧比的方式計算很多的收益率，來獲取逼近收益率為零的數值計算保本盈虧比，應用起來非常方便。

為描述方便，這里定義概率平衡盈虧比和理想化盈虧比的平均值為“概率理想平均盈虧比”。這定義有點多啊，沒辦法，因為不這樣會出現名稱混亂，導致閱讀困難的情況。

圖2：持倉比例20%的盈虧比數值解、擬合解及理想解對比

五、止損比例20%、建倉比例30%約束下的盈虧比經驗公式

約束條件：

1. 信號序列編號：2
2. 止損比例：20%
3. 持倉比例：30%（僅此不同）
4. 總交易次數：500次

用第四章同樣的研究方法，我們可以得到止損比例仍然取20%，但建倉比例調高到30%的數值計算保本盈虧比和理想化盈虧比。這里我們只給出相關的圖和公式，說明從簡，因為方法是一樣的，而且我們重點是想獲得靈感后建立獲勝率和建倉比例作為兩個自變量的盈虧比計算公式。

圖3是類似圖1的圖，只有持倉比例從20%調整到30%之差異。直觀的感覺是，兩條曲線的誤差大于圖1中兩條曲線的誤差，這說明隨著建倉比例的調高，要保證策略獲得正收益的真實最小盈虧比，相對概率平衡盈虧比，提高的幅度是隨建倉比例的增加而增加的。

從概率平衡盈虧比公式3可以看出，盈虧比與持倉比例φ無關，但有長期交易經驗的交易員都知道，這是不可能的，因為倉位的高低會影響到策略的生存周期，持倉比例φ越高，獲勝率R越低，要求的盈虧比就越高，高過公式3給出的概率平衡盈虧比，以保證在連續失敗信號階段能夠依據前面幾次次盈利交易生存下來。

圖3：建倉比例30%情況下最小盈虧比數值解與理論解曲線

同樣，為了使盈虧比公式具有優美的表現結構，模仿數學大師們的手段，通過簡單的分析，可以將圖3中橘紅色曲線用下面的公式表達（下標值為建倉比例）：

冪函數公式5就是持倉比例φ取30%情況下的理想化盈虧比，將公式中的系數和指數與圖3中橘紅色曲線擬合公式中的冪函數的系數和指數進行對比，可以發現系數3/5的平方0.36相對0.3492的誤差為3.09%，指數8/3的平方根1.633與圖3中橘紅色公式中的指數1.636的誤差為-0.18%，逼近的非常理想，而且公式中有平方有開方，3、5、8正好是斐波那契數列的第4、5、6號整數，使得公式的整體美感得到提升。

圖4與圖2展現的是同樣的內容，不同的是圖2的持倉比例φ為20%，圖4的持倉比例φ為30%。仔細觀察可見，圖4中數值計算保本盈虧比在獲勝率R橫坐標的左側雖然仍然是夾在概率平衡盈虧比和理想化盈虧比兩條曲線之間，但相對圖2的曲線關系，似乎更加向上靠近理想化盈虧比。這似乎暗示持倉比例φ對指數的影響更大，具體什么關系，要獲得持倉比例為40%的相關曲線后才能得出結論。

圖4：持倉比例30%的盈虧比數值解、擬合解及理想解對比

六、止損比例20%、建倉比例40%約束下的盈虧比經驗公式

約束條件：

1. 信號序列編號：2
2. 止損比例：20%
3. 持倉比例：40%（僅此不同）
4. 總交易次數：500次

用第四章同樣的研究方法，我們可以得到止損比例仍然取20%，但持倉比例φ調高到40%的數值計算保本盈虧比和理想化盈虧比。

圖5是類似圖1和圖3的圖，只有持倉比例40%不同。直觀的感覺是，兩條曲線的誤差相比圖3中兩條曲線的誤差更大了，證實了筆者關于盈虧比的冪函數公式中系數部分與持倉比例關系不大，但指數部分與持倉比例成某種單調增加的猜想，現在最后一步就是，判斷冪函數指數與持倉比例φ是線性還是非線性的關系，并建立模型得出具體的計算公式，這樣，我們就可以得到自變量為獲勝率和持倉比例的盈虧比通用計算公式。

圖5：建倉比例40%情況下最小盈虧比數值解與理論解曲線

同樣，為了使盈虧比公式具有優美的表現結構，仍然模仿大師們的方法，通過簡單的分析，可以將圖5中橘紅色曲線用下面的公式表達（下標值為建倉比例）：

冪函數公式6就是持倉比例取40%情況下的理想化盈虧比，將公式中的系數和指數與圖5中橘紅色曲線擬合公式中的冪函數的系數和指數進行對比，可以發現系數3/5的平方0.36相對0.3469的誤差為3.78%，指數5/3之值1.667與圖5中橘紅色公式中的指數1.674的誤差為-0.41%，逼近的也非常理想，而且公式中系數中3/5和指數中的5/3正好是倒數對稱，使得公式6的美感更加悅目。

圖6與圖2和圖4展現的是同樣的內容，不同的是圖2的持倉比例φ為20%，圖4的持倉比例φ為30%，圖6的持倉比例φ為40%。仔細觀察圖6可見，數值計算保本盈虧比在獲勝率橫坐標的左側雖然仍然是夾在概率平衡盈虧比和理想化盈虧比兩條曲線之間，但相對圖2和圖4的曲線關系，幾乎是接近貼合在理想化盈虧比曲線上。

圖6：持倉比例40%的盈虧比數值解、擬合解及理想解對比

七、獲勝率R和持倉比例φ雙變量盈虧比公式推導

顯然，針對每個持倉比例按照上述方法推導一個自變量為獲勝率的盈虧比公式不僅太過復雜，應用起來也不方便。正如量子力學誕生的推動力來自黑體輻射的研究一樣，當年科學家們需要找到黑體輻射能量峰值與絕對溫度T和輻射波長λ的關系，今天，我們策略研究者也希望找到保證策略長期交易獲得正收益的最小盈虧比與獲勝率R和持倉比例φ的關系。

在前面的研究中，我們研究了止損比例取常數20%，但持倉比例φ分別為20%（實例1）、30%（實例2）和40%（實例3）三種情況下，保證策略長期交易仍然獲得正收益，且自變量為獲勝率R的最小盈虧比公式。每個公式都是冪函數，其指數和系數參見表1。

我們以實例1，即持倉比例20%情況下的指數和系數作為基準，計算另外兩個實例的指數和系數相對基準的變化，可以看出，指數的變化幅度較大，但系數的變化幅度很小，指數變化的幅度約為系數變化幅度的4倍。

冪函數中系數和指數隨持倉比例φ的變化，本應該分析實例達到至少30個之后才能用統計的方法建立模型，但幸運的是，完成三個實例后，發現冪函數中無論是系數μ還是指數ρ，都與持倉比例φ成線性關系，其中系數μ與持倉比例φ成反比，而指數ρ與持倉比例φ成正比。

表1：三個實例中冪函數指數和系數對照表

現在我們假設自變量為獲勝率R和持倉比例φ的保本盈虧比的通用公式具有下面的形式：

其中冪函數系數μ和指數ρ均為持倉比例φ的函數，截止到這里還不清楚函數的形式。下面以三個實例中基于數值計算保本盈虧比擬合公式中冪函數的系數和指數的值，通過散點圖建立與持倉比例φ的關系式。

圖7是三個實例中三條數值計算保本盈虧比曲線的擬合公式（注意不是完美處理后理想公式）的冪函數系數值μ與持倉比例φ的散點圖，3個點就叫散點圖不太嚴謹，但令人驚嘆的是，3點竟然是線性關系，我的直覺是，即使計算出更多的點，也會是這種線性關系。

圖7：盈虧比擬合公式中冪函數系數μ與持倉比例φ散點圖

為了表達清晰，我們將圖7中的y用系數符號μ代替，將圖中x用持倉比例符號φ代替，得到圖7中用本文標準符號表達的盈虧比擬合公式冪函數中系數的擬合公式：

這樣我們就得到了盈虧比通用計算公式中冪函數的系數表達式9，其是持倉比例φ的線性反比函數。

用同樣的方式，我們得到三個實例中數值計算保本盈虧比擬合公式中冪函數指數ρ與持倉比例φ的散點圖（圖8），明顯可見，冪函數指數ρ與持倉比例φ成線性正比的關系，

圖8：盈虧比擬合公式中冪函數指數ρ與持倉比例φ散點圖

同樣的道理，為了表達清晰，我們將圖8中的y用指數符號ρ代替，將圖中x用持倉比例符號φ代替，得到圖8中用標準符號表達的盈虧比擬合公式冪函數中指數值的擬合公式：

這樣，我們就得到保本盈虧比理想公式7中冪函數系數μ和指數ρ的代數表達式，將持倉比例φ代入，可以得到對應φ的盈虧比擬合公式之冪函數系數μ和指數ρ，代入公式7，再選定具體的獲勝率R代入公式7，就可以計算出對應持倉比例φ和獲勝率R情況下的保本盈虧比。

得到盈虧比通用公式7后，我們可以計算出不同獲勝率和不同持倉比例組合確定的盈虧比，與其他盈虧比進行對照，以便看下通用公式的擬合完美度。

圖9是止損比例20%、持倉比例20%約束下，利用雙變量盈虧比通用計算公式計算的盈虧比隨獲勝率變化的曲線，從該圖可以看出，用雙變量通用盈虧比公式計算得到的盈虧比曲線，與理想化盈虧比曲線吻合度非常高。當然，這是樣本內的計算結果，以后的補充文章會用樣本外，也就是持倉比例取其他值時，評估下所計算的盈虧比隨意用在任何一組信號序列情況下，最終的交易結果是否接近為零值。

圖9：持倉比例20%之雙變量盈虧比曲線

圖10是止損比例取20%、持倉比例φ=30%約束下，利用雙變量盈虧比通用計算公式計算的盈虧比隨獲勝率R變化的曲線，圖11是止損比例取20%、持倉比例φ=40%約束下，利用雙變量盈虧比通用計算公式計算的盈虧比隨獲勝率變化的曲線。從圖9-11可見，雖然我們利用的是樣本內數據計算的雙變量盈虧比曲線，但曲線與理想化盈虧比曲線的吻合度還是讓我吃驚。

圖10：持倉比例30%之雙變量盈虧比曲線

圖11：持倉比例40%之雙變量盈虧比曲線

八、止損比例20%、持倉比例35%隨獲勝率變化之雙變量盈虧比

前面推導得到在特定止損比例20%約束下的通用盈虧比計算公式7。接下來，我們就可以選擇持倉比例在20%、30%和40%之外（因為這三個是樣本數據）的持倉比例φ，并任選一個獲勝率R，雙雙代入雙變量盈虧比通用計算公式7，計算出一個特定盈虧比，這個特定盈虧比應用于任何實際獲勝率接近選定獲勝率水平的信號序列，應該都能保證交易策略經過“無數次”交易后，到期收益率接近零值，而不會出現破產的結果。

1. 信號序列編號：12
2. 止損比例：20%
3. 持倉比例：35%（僅此不同）
4. 總交易次數：500次
5. 盈虧比模型：雙變量保本盈虧比

我們前面分析建模時，信號序列的編號為2，持倉比例分別取20%、30%和40%，這里我們取編號12的信號序列，持倉比例取35%，然后按照雙變量保本盈虧比公式計算對應的盈虧比（持倉比例不變，獲勝率在變），得到圖12。

從圖12可見，在獲勝率R小于20%和大于52%的情況下，到期收益率都很高，似乎與雙變量盈虧比推導的期望目標有較大的背離。這個現象，是因為前面無論是哪種經驗模型盈虧比，在獲勝率15-60%范圍的兩端，所計算的盈虧比都偏大，從而導致實際運行時，到期收益率不僅沒有逼近零值，反而因為盈虧比對收益率影響非常靈敏，到期收益相當可觀。

值得指出的是，圖中的雙變量盈虧比均是依據持倉比例φ=35%以及圖中對應的獲勝率兩個變量計算得到的。由于在我們的分析中，三個例子的持倉比例分別為20%、30%和40%，因此這里用持倉比例φ=35%之樣本外持倉比例進行分析是可以接受的，但進一步的分析顯示，如果持倉比例偏離上述范圍較大，要增加一個系數調整因子，該因子是持倉比例φ的函數（簡單測試了幾個點，似乎是線性函數）。

考慮到本文篇幅和讀者閱讀長文的耐性，系數調整因子的分析內容，筆者放在其他文章中進行補充分析。

圖12：止損20%、持倉比例35%雙變量盈虧比及到期收益率曲

圖13是止損比例20%、持倉比例φ=20%情況下，雙變量盈虧比與數值計算保本盈虧比之差隨獲勝率變化的曲線。

從該圖可見，盈虧比差值數據在圖兩端均為正值，說明雙變量盈虧比大于數值計算保本盈虧比，而在中間段，感覺兩條盈虧比曲線似乎貼得很近，其實雙變量盈虧比要比數值計算保本盈虧比的值小些，偏離的最大幅度約為-6.85%（對應差值為-0.1569），從而導致獲勝率28-47%之間的到期收益率有較大的虧損，幸運的是，雖然虧損較大，但沒有被淘汰出局。這樣看來，雙變量盈虧比叫“避免破產之雙變量盈虧比”可能更合適。

圖13：持倉比例20%雙變量盈虧比與數值計算保本盈虧比之差值

為了保證策略投入運行前，有一個判斷盈虧比最小值的可靠標準，可以對圖13中差值曲線建模，然后將差值建模公式，加負號疊加到盈虧比通用計算公式7中，但這樣一來，原來通用公式7的完美形式就被破壞了，感覺有點遺憾，除非差值擬合公式也能找到完美的表達形式。

結論和思考

推導雙變量盈虧比的目的，是為了獲得一個判斷策略運行安全性可以接受的最小盈虧比，某個策略是否能夠經得起長期交易的考驗，其實戰盈虧比至少要大于該最小盈虧比。如果低于該最小盈虧比，風控的思路是，建議投資部門，要么將持倉比例調低，要么進一步測試調高獲勝率（即調整止損比例），以保證策略長期運行的安全性。

模擬測試顯示，如果持倉比例介于20-40%之間，并引入誤差校正經驗公式，則利用雙變量盈虧比公式7計算的盈虧比雖然不能保證長期交易后，收益率必定為正值（因為信號序列的組合模式千變萬化），但即使虧損，幅度也會在接近零值的較小誤差之內，從而可以保證即使經歷了“無數次”交易，哪怕是應用在各種各樣的品種上，交易者仍然能夠在市場中生存下去。

由于本文篇幅較大，誤差校正公式的推導只能放在以后的文章中介紹，讀者也可以按照這個思路，自己建模測試。比如說固定自己習慣的持倉比例，構建雙變量為止損比例和獲勝率的雙變量盈虧比公式。